Derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales.
El dominio la función logarítmica son los números reales positivos y el rango son los números reales.
Si u es una función derivable de x, entonces la reglas de derivación logarítmica y exponencial son:
Nuevamente podemos destacar que el método de los cuatro pasos, basado en la definición formal de una derivada, resulta bastante laborioso y tedioso en ejercicios que tienen una mayor complejidad. Por esta razón es importante hacer usos de las reglas básicas de derivación las cuales permiten realizar un proceso rápido y fácil en el cálculo de diversas derivadas de funciones de uso más frecuente.
Dicho lo anterior, en esta clase profundizaremos en los métodos de derivación de funciones exponenciales y logarítmicas. El objetivo de la sesión será entonces estudiar y aplicar los métodos de derivación que nos permiten plantear soluciones a problemas basadas en los principios del cálculo diferencial. Durante la solución de los problemas es deseable que trabajes de forma metódica y organizada; anteponiendo un pensamiento crítico y reflexivo en cada problema. Es importante destacar que resulta fundamental que domines las reglas básicas de derivación y que seas capaz de derivar directamente las funciones exponenciales y logarítmicas a fin de dar paso al estudio de las derivadas de orden superior. A continuación, se presenta el mapa conceptual que usamos anteriormente para dar cuenta del camino que seguiremos en el estudio de las derivadas:
Desarrollo del tema
La función exponencial y logarítmica tienen gran cantidad de aplicaciones en la vida cotidiana y no tan cotidiana. Muchos fenómenos naturales y sociales están regidos por leyes en cuya expresión aparece la función exponencial. Usualmente estos fenómenos guardan relación con procesos en los cuales una variable crece o disminuye exponencialmente con respecto a otra. Ejemplos muy conocidos de estos fenómenos son:
a) Desintegración de un núcleo radiactivo.
b) Crecimiento de la población mundial.
c) Cálculo del interés simple.
d) De igual modo, estas funciones aparecen con frecuencia en muchas fórmulas de física, termodinámica, electromagnetismo y teoría de circuitos, entre otras.
e) En Geología para medir la intensidad de un terremoto usando la escala de Ritcher.
f) En Informática para evaluar cuánto se tardaría en resolver un problema con un ordenador.
g) En Arqueología para estimar la edad de un fósil a través del proceso de datación por C14 (logarítmica).
h) En Química para determinar el grado de acidez de una solución llamada pH (logarítmica).
i) En Física para determinar la sensación de intensidad del sonido medida en decibelios.
j) En Biología para medir el tiempo en que crece una colonia de bacterias (Exponencial).
k) En Economía para medir el tiempo en que un capital produce cierto interés.
l) En estudios demográficos, para predecir en una población las necesidades surgidas en su crecimiento.
Sin los logaritmos y su contribución, sería imposible conseguir muchísimos de los avances que hasta ahora han sido posibles. Entre los muchos avances a los que ha contribuido están los asociados al estudio de la astronomía. También tiene múltiples aplicaciones en la geodesia, en la navegación marítima y la matemática aplicada. En la economía, los cálculos realizados con los logaritmos ayudan al estudio y conocimiento de la oferta y la demanda. En la banca, por ejemplo, ayuda a calcular el crecimiento de los depósitos. También se puede aplicar a la estadística, en la que sus cálculos ayudan a conocer el crecimiento de la población. Otra de las aplicaciones que tienen los logaritmos está en la música, cuyos pentagramas tienen relación con la escala logarítmica. La topografía es otro de los usos que tiene, ayudando a conocer la altitud de un edificio. En la biología ayuda en la realización del cálculo del pH. Y muchas más aplicaciones.
En la estimación de las derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales se aplican las siguientes reglas:
a) Logarítmicas
A continuación, se presentan las propiedades de los logaritmos, las cuales, pueden ser aplicadas para simplificar una función al momento de obtener su derivada. Estas propiedades se aplican por igual a logaritmos naturales y de base variables.
c) Exponenciales
Ejemplo 1: Estima la derivada de la función: f(x)=x2 ln(mx)2
Se utiliza la regla de la derivada de un cociente:
Ejemplo 2: Estima la derivada de la función: fx=ln(senx)
Se deriva la función y mediante identidades trigonométricas se obtiene:
Ejemplo 3: Estima la derivada de la función: f(x)=e2x-1
Se deriva la regla:
Ejemplo 4:
Conclusión
En conclusión, en esta clase hemos estudiado los métodos de derivación de funciones exponenciales y logarítmicas. Las funciones exponenciales y logarítmicas son de gran importancia en el estudio de la física, la química, la biología, la estadística, la economía y muchas otras aplicaciones.
El objetivo de esta sesión se centró en el estudio y la aplicación de los métodos de derivación que nos permiten plantear la derivada de funciones tanto exponenciales como logarítmicas a partir de reglas básicas. Al estudiar estas reglas hemos podido constatar las ventajas que ofrecen las reglas de derivación en comparación con la regla de los cuatros pasos estudiada anteriormente.
Es importante insistir en que debes trabajar y esforzarte en dominar las reglas básicas de derivación; a fin de que seas capaz de derivar directamente las funciones exponenciales y logarítmicas y de orden superior, propuestas en las clases subsecuentes.
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