Solidos en Revolución

Superficies de revolución

Antes de comenzar a estudiar el método de los discos, definiremos lo que es una superficie de revolución.

Una superficie de revolución es una figura sólida que se obtiene al girar una curva plana alrededor de un eje que se encuentra en el mismo plano, a este eje se le conoce como eje de revolución. Veamos unos ejemplos.

Figura 1: Rectángulo (Figura de la izquierda) y el cilindro de revolución (figura de la derecha).

En la figura $(1)$ tenemos un rectángulo con altura y ancho, variables (figura de la izquierda), obsérvese que está en un plano, es decir, es una figura en 2 dimensiones, si nosotros hacemos girar esta figura alrededor del eje $x$ obtenemos un cilindro como en la figura de la derecha.

En la siguiente figura $(2)$ tenemos un triángulo rectángulo isósceles (figura de la izquierda), si nosotros hacemos girar este triángulo alrededor del eje $y$ lo que obtendremos es una pirámide como el lado derecho de la figura 2.

Figura 2: Triangulo iscóceles (figura de la izquierda) y pirámide (figura de la derecha).

A estas figuras «creadas» se les conoce como superficies de revolución, a continuación veremos como calcular su volumen por el método de los discos.

Método de los discos

Supongamos que tenemos una función $f(x)$ en un intervalo $[a,b]$ y que cortamos una «rebanada» con un ancho $\mathrm{\Delta }x$ de la función $f(x)$ como se muestra en la figura $(3)$.

Figura 3: Aproximación con un polígono regular a $f(x)$.

Al hacer girar esta función alrededor del eje $x$ obtendremos una superficie de revolución (figura $(4)$), la «rebanada» que tomamos al girarlo alrededor del eje obtendremos un cilindro de radio $r$ y ancho $\mathrm{\Delta }x$.

Figura 4: Superficie de revolución

Para calcular el volumen de esta superficie de revolución la «rebanamos» $n$ veces y sumamos estos pedazos, es decir:

Volumen de la superficie de revolución $\approx \sum _{i=1}^n$ volúmenes de los cilindros

Recordemos que el volumen de un cilindro está dado como $V=\pi r^{2}h$, entonces el volumen de nuestra superficie de revolución es:

$$V\approx \sum _{i=1}^n\pi r^2\mathrm{\Delta }x=\sum _{i=1}^n\pi [f(x){]}^2\mathrm{\Delta }x$$

Si tomamos el límite cuando $n\to \mathrm{\infty }$ obtenemos:

$$V=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\pi [f(x){]}^2\mathrm{\Delta }x=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$$

Por lo que definimos el volumen de una superficie de revolución alrededor del eje $x$ como:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& V={\int }_a^bÁrea(x)dx=\pi {\int }_a^b[R(x){]}^{2}dx\end{array}$$

Análogamente, se puede deducir lo mismo para una superficie de revolución generado por una curva plana alrededor del eje $y$. Se define el volumen de una superficie de revolución alrededor del eje $y$ como:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& V=\pi {\int }_c^d[R(y){]}^{2}dy\end{array}$$

Observación: Para el método de los discos el corte siempre debe ser perpendicular al eje de rotación.

Método de las arandelas

Si la región que se hace girar para generar el sólido de revolución no se acerca al eje de rotación, ni está en él, tendremos que al girarlo sobre el eje se obtendrá un agujero en su centro, es decir, un sólido de revolución con un agujero alrededor del eje de rotación. Si utilizamos el mismo método visto anteriormente para calcular su volumen, en vez de discos, tendremos que las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son arandelas, el área de la arandela está dada como:

$$A=\pi R^2(x)-\pi r^2(x)=\pi (R^2(x)-r^2(x))$$

Donde $R(x)$ es el radio mayor y $r(x)$ es el radio menor de la arandela como se muestra en la figura $(5)$, por lo que nos interesa el volumen entre $R(x)$ y $r(x)$.

Figura 5: Solido de revolución generado por las funciones $R(x)$ y $r(x)$ alrededor del eje $x$.

Por consecuencia, el volumen lo podemos calcular como:

$$\begin{array}{}\text{(3)}& V=\pi {\int }_a^b(R^2(x)-r^2(x))dx\end{array}$$

Veamos un ejemplo.

Ejemplos

• Calcula el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región acotada por la grafica $f(x)=\sqrt{\sin (x)}$, alrededor del eje $x$ y acotadas por las rectas $x=0$ y $x=\pi$.

En este caso obtenemos la siguiente figura $(6)$.

Figura 6: Función $f(x)=\sqrt{\sin (x)}$ (figura de la izquierda) y la superficie de revolución alrededor del eje x (figura derecha).

Utilizamos la relación $(1)$, ya que la función gira alrededor del eje $x$, por lo que el volumen de este sólido de revolución es:

$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{\left(\sqrt{\sin (x)}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{\pi }\sin (x)dx=\pi (-\cos (x)){|}_0^{\pi }=\pi -(-1-1)=2\pi$$

• Determinar el volumen del sólido de revolución generado alrededor de $y=g(x)=1$ por la función $y=\sqrt{x}$ y las rectas $x=1$ y $x=4$ (figura $(7)$).

Figura 7: Grafica de $f(x)=\sqrt{x}$ y $g(x)=1$.

Al girar la función $f(x)=\sqrt{x}$ alrededor de $y=1$ tendremos una especie de parábola.

Observamos que:

$$R(x)=f(x)-g(x)=\sqrt{x}-1\Rightarrow R^2(x)=x-2\sqrt{x}+1$$

Por ende, utilizamos la relación $(1)$ para calcular el volumen como:

$$V=\pi {\int }_1^4(x-2\sqrt{x}+1)dx=\pi (\frac{x^2}{2}-2\frac{2}{3}{x}^{3/2}+x){|}_1^4=\frac{7\pi }{6}$$

• Determina el volumen del sólido de revolución acotada por las curvas $y=x^2+1$ y la recta $y=-x+3$ alrededor del eje $x$.

Para saber en qué intervalo vamos a integrar, igualamos las funciones:

$$x^2+1=-x+3\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow (x+2)(x-1)=0$$

Por lo que integramos desde $x=-2$ a $x=1$

Del eje de rotación, sea el radio menor $r(x)=x^2+1$ por estar más próximo a este eje en este intervalo, y sea el radio mayor $R(x)=-x+3$, como se muestra en la figura $(8)$.

Referencias: 

El blog de Leo