Reglas de la Derivación Algebraica

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Reglas básicas de derivación


Anteriormente habíamos revisado algunos teoremas relacionados con la derivada de funciones. Esta entrada tiene como objetivo mostrar un resumen de las reglas de derivación que hemos estudiado hasta ahora y agregar algunas reglas nuevas.

Reglas de derivación para la suma, el producto, el cociente y la composición de funciones

Previamente revisamos algunas reglas que son fundamentales para el cálculo de las derivadas, tales como que la derivada de una suma de funciones es la suma de sus respectivas derivadas o que la derivada de una función que está siendo multiplicada por una constante es igual a la derivada de la función multiplicada por la constante. Procederemos a enlistarlas pues será importante tenerlas muy presentes:


  1. De una constante, cuando una función es una constante el resultados siempre será cero. Ejemplo:

f(x)=5f'(x)=0

  1. De “x”, la derivada de x es el valor del coeficiente del término. Ejemplo 

f(x)=10x

f'(x)=10

  1. Derivada de un exponente, el exponente multiplica al coeficiente del término y al exponente se le resta uno. Ejemplo:

f(x)=2x5

f'(x)=5*2x 5-1

f'(x)=10x4

  1. Derivada de una raíz cuadrada, para derivar raíces cuadradas se emplea pasar a potencia fraccionara la raíz, pues se puede aplicar la regla para un exponente, lo que suele ser más sencillo de entender. Ejemplo:

f(x)=√5x

f(x)=5x1/2       

Este término representa la misma raíz cuadrada y se puede aplicar la regla del exponente

  1. Deriva de una raíz, al igual que el anterior siguiendo la regla de la raíz como una potencia fraccionaria, pero al ser mayores las raíces, es más sencillo aplicar la fórmula. Ejemplo:
  1. Derivada de una fracción, aquí se hace uso de las propiedades del álgebra, es cuando un denominador queremos que este en el numerador, lo que se hace es que su exponente se representa de forma negativa y aplicamos la regla de derivar para potencia. Ejemplo:

Al final se regresa el término que subió al numerador al denominador. 

(los ejemplos desarrollados a partir de las reglas son de autoría propia)

Estas son las derivadas que tienden a ser empleadas en los problemas de aplicación por los Contadores, las tablas con la reglas de derivadas son muy extensas, pues incluyen las derivadas de funciones trigonométricas pero para fines de la carrera no son empleados. 

Derivadas de suma, resta, producto y cociente.

Las funciones no suelen estar compuestas de una sola función, están compuestas por algunas que se suman, se restan, se dividen o multiplican. Las reglas que se aplican para esas funciones son las siguientes.

  1. Suma. Se deben derivar cada una de las funciones por individual.

f(x)=u+v

f'(x)=u’+v’

Ejemplo:

f(x)=5x8+2x+3

f'(x)=40x7+2

En el primer término se aplica la regla del exponente, después en el segundo la derivada de x y por último la derivada de una constante.

  1. Resta. Al igual que en la suma, se derivan por individual cada una de las funciones

f(x)=u-v

f'(x)=u’-v’

Ejemplo:

f(x)=30x2-27x-3-5

f'(x)=60x-27

IMPORTANTE: hay funciones donde se suman y restan funciones, se derivada cada una en lo individual respetando el signo que le corresponde:

f(x)=10x2+7x-3x+5x

f(x)=20x+7-3+5

  1. Producto. Cuando la función está compuesta por multiplicación de funciones su derivada sería: el producto de multiplicar la derivada de la primera función por la segunda función más el producto de multiplicar la primera función por la derivada de la segunda función,

f(x)=u*v

f'(x)=u’*v+u*v’

Ejemplo.

f(x)=(3x-2x)(4x2+5)

f'(x)=(3-2)(4x2+5)+(3x-2x)(6x)

  1. Cociente. Esta regla se aplica cuando dos funciones forman un cociente entre ellas, el procedimiento es: el producto de multiplicar la derivada del numerador  por la función del denominador menos  el producto de multiplicar la función del numerador por la derivada de la función del denominador y dividirlo entre la función del numerador al cuadrado.

Ejemplo

(Zapata, 2021)

Hay funciones que son más complejas y requieren de un regla especial para poder ser derivadas, es la Regla de la Cadena, para saber más de ella revisa el recurso ppt del tema cuatro Teoremas Fundamentales de la derivada y continúa aprendiendo.

Las reglas que vimos son relativamente sencillas de aplicar, la mayor dificultad que se puede presentar es debido a los carentes conocimientos sobre aritmética y álgebra, es importante dar un pequeño repaso a estos temas para poder adquirir un razonamiento mayor y tener una gran agilidad para resolver derivadas y sus aplicaciones. Continúa derivando y aprendiendo, nos vemos en el siguiente recurso.

Resumen e ideas relevantes

Es importante que de lo anterior recuerdes que: 

  • La derivada de una constante es cero
  • La derivada de “x” es el valor del coeficiente del término.
  • Para derivar por exponente, el exponente multiplica al coeficiente del término y al exponente se le resta uno.
  • Adicional a las reglas establecidas, para derivar raíces se puede emplear representar la raíz como un exponente fraccionario.
  • La derivada de un termino fraccionario, empleando las propiedades del algebra se puede representar mediante un exponente negativo. 
  • Las reglas para sumas y restas siguen el mismo esquema, lo único que cambia es el signo correspondiente a cada uno.
  • Para derivar por cociente o producto, es importante identificar cada una de las funciones para poder hacer una aplicación correcta.
  • Las funciones compuestas de sumas y restas deben de derivarse cada función en lo individual respetando el signo que le corresponde.

Te felicito por llegar hasta aquí con ese ímpetu tan incontrolable por saber cada día un poco más, continúa así y no dejes que ese ánimo decaiga. Realiza las actividades correspondientes.

 ¡Nos encontraremos en la próxima sesión!

Fuentes de consulta


𝑥𝑛


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