Razón de Cambio y Aplicación de la Derivada en la Vida Cotidiana
Interpretación geométrica de la derivada
Sea f una función definida en un intervalo abierto I, que contiene al número a y que además existe el límite
entonces, la recta que pasa por (a,f(a)) y tiene pendiente m es la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a,f(a)) y cuya ecuación esta dada por y=m(x-a)+f(a)
Ejemplo
Encuentra la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)=x2 en el punto P(2,4).
Razón de cambio promedio
Supongamos que x y y son dos variables relacionadas, en las que el cambio en una influyen en un cambio en la otra, designemos como Dx y Dy los incrementos en dichas variables, la razón de cambio promedio es el cociente
Ejemplo:
Consideremos un cilindro de gas, el cual tiene dos medidores, uno de temperatura y otro de presión. Un día caluroso se registran la temperatura y presión en distintos tiempos.
Solución
La razón de cambio promedio entre el incremento de temperatura y el incremento de tiempo en el intervalo de 6 a 8
Definición de la derivada de una función
Sea f una función definida en un intervalo abierto I que contiene al número c. La derivada de f en c, denotada como f’(c) está dada por:
Ejemplo:
Encuentra f'(1)si f(x)=x3+2
Solución
Por definición
Primer paso: f(1)=(1)3+2=3
f(1+∆x)=(1+∆x)3+2=1+3∆x+3∆x2+∆x3+2 =3∆x+3∆x2+∆x3+3
Segundo paso
f(1+∆x)-f(1)
f(1+∆x)-f(1)=3∆x+3∆x2+∆x3+3-3 =3∆x+3∆x2+∆x3
Factorizando delta x
=∆x(3+3∆x+∆x2)
La derivada como una función
siempre y cuando el límite exista.
Ejemplo:
Sea f(x)=x3+2 encontrar: la derivada y su dominio, f’(-1) y la ecuación de la recta tangente en c=-1, f’(1) y la ecuación de la recta tangente en c=1
Primer paso f(x+∆x)
Segundo paso f(x+∆x)-f(x)
Factorizando delta x
La diferencial
Supongamos una función f cuya derivada en c existe, entonces la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c,f(c)) viene dada por la ecuación y=f'(x)(x-c)+f(x).
Si y=f(x) es una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x. la diferencial de x(dx) es cualquier número real diferente de cero. La diferencial de y(dy) se define como dy=f'(x)
Cálculo de derivadas
Reglas básicas de la derivación
Derivada de una constante
Aplicando la definición de derivada obtenga la derivada de una función f(x)=C, donde C, es una constante
Derivada de una potencia
Aplicando la definición de derivada obtenga la derivada de una función f(x)=x2
Derivada de un múltiplo de una función
Derivada de un cociente de funciones
Derivadas de las funciones trigonométricas
Conclusión
En resumen, el análisis de la derivada de una función es en sí misma una función que proporciona la pendiente de una recta tangente. La derivada no es, sin embargo, una ecuación de una recta tangente. Recuerde que f’(x) debe evaluarse en xo antes de usarla en la forma punto-pendiente. Si es diferenciable en xo, entonces la ecuación de la recta tangente en (xo, yo) es y-yo=f’(xo)(x-xo).
La derivada f’(x) también es la razón de cambio instantáneo de la función y=f(x) con respecto a la variable x.
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EL CONCEPTO RAZÓN DE CAMBIO
En nuestra vida cotidiana, vemos como los eventos transcurren en el tiempo: la caída de las hojas, el movimiento de los carros, el movimiento de las manecillas del reloj.
La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se calcula dividiendo un trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Esto quiere decir que la velocidad se entiende a partir del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo a cómo se modifica la distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es su velocidad.
Supongamos que un automóvil recorre 100 kilómetros en dos horas. La razón de cambio existente entre ambas variables es 50 kilómetros por hora. Ese valor representa su velocidad, ya que v = d / t (velocidad = distancia / tiempo).A partir del conocimiento de una razón de cambio, es posible desarrollar diferentes cálculos y previsiones. Si conocemos el nivel de contaminación que está llegando a un arroyo a partir del vertido de sustancias químicas por parte de una industria, es posible utilizar la razón de cambio para señalar qué tan rápido se incrementa el nivel de contaminación.
Con un cálculo similar, se puede calcular la velocidad de propagación de una epidemia en una determina ciudad, tomando como datos la cantidad de personas que contrajo el virus en x días.
La razón de cambio vincula dos variables: por ejemplo, distancia y tiempo.
Clasificación según el tipo
Es posible distinguir entre dos tipos de razón de cambio: la promedio y la instantánea, las cuales se explican a continuación. Es importante resaltar que haciendo uso de estos conceptos, se abren las puertas a la solución de ciertos problemas para los cuales los métodos algebraicos no son efectivos.
Razón de cambio promedio
Nuestro día a día nos enfrenta a diversas razones de cambio de situaciones sociales, económicas y naturales, entre otras, en las cuales deseamos saber cuál es el valor más grande o el más pequeño (el máximo y el mínimo, respectivamente), su crecimiento o su disminución en un período de tiempo determinado. Se trata de problemas en los cuales estudiamos fenómenos relacionados con la variación de una magnitud que depende de otra, por lo cual es necesaria una descripción y una cuantificación de dichos cambios por medio de gráficas, tablas y modelos matemáticos.
Así como en el ejemplo del coche que recorre 100 kilómetros en dos horas, los problemas que nos llevan a calcular la razón de cambio promedio arrojan resultados en los cuales se determina una variación que no necesariamente existe en la realidad a cada momento; en otras palabras, no sabemos si el coche ha mantenido esta velocidad a lo largo de las dos horas, sino que estimamos el promedio de unidades de distancia al cual debió avanzar para completar dicho recorrido.
Razón de cambio instantánea
La razón de cambio instantánea también se denomina segunda derivada y hace referencia a la velocidad con la cual cambia la pendiente de una curva en un momento determinado. No olvidemos que la razón de cambio muestra la proporción en la que cambia una variable con respecto a otra o, desde un punto de vista gráfico, la pendiente de una curva.
Si retomamos el ejemplo del coche, la razón de cambio instantánea podría resultar útil para conocer el trayecto recorrido en un punto específico de las dos horas, que es el plazo de tiempo total analizado en el problema. A diferencia de la razón promedio, la instantánea tiene una visión muy puntual, ya que busca conocer o corregir valores antes de que finalice el periodo.
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