INTEGRAL DEFINIDA

¿Qué es una Integral Definida?

Una integral definida se expresa de la siguiente manera:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$$

donde:

• $f(x)$ es la función que estamos integrando.
• $a$ y $b$ son los límites de integración, que determinan el intervalo sobre el cual se calcula el área.

El resultado de esta integral es el área neta entre la curva $f(x)$, el eje $x$ y las líneas verticales $x = a$ y $x = b$.

Propiedades de las Integrales Definidas

Las integrales definidas tienen varias propiedades importantes:

1. Linealidad:

   $$\int_{a}^{b} (k f(x) + g(x)) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx$$

   donde $k$ es una constante.

2. Cambio de Límites:

   $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$$

3. Integral de una Constante:

   $$\int_{a}^{b} k \, dx = k(b - a)$$

   donde $k$ es una constante.

4. Teorema Fundamental del Cálculo: Este teorema establece una conexión entre la derivación y la integración. Si $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$, entonces:

   $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

Cálculo de Integrales Definidas

Paso 1: Encontrar la Antiderivada

El primer paso es encontrar la antiderivada $F(x)$ de la función $f(x)$.

Paso 2: Evaluar la Antiderivada en los Límites

Luego, evalúas la antiderivada en los límites $a$ y $b$:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

Ejemplo Práctico

Supongamos que queremos calcular el área bajo la curva $f(x) = x^2$ desde $x = 1$ hasta $x = 3$.

1. Encontrar la Antiderivada:

   $$F(x) = \frac{x^3}{3}$$

2. Evaluar en los Límites:

   $$\int_{1}^{3} x^2 \, dx = F(3) - F(1) = \left(\frac{3^3}{3}\right) - \left(\frac{1^3}{3}\right) = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$$

Por lo tanto, el área bajo la curva $f(x) = x^2$ entre $x = 1$ y $x = 3$ es $\frac{26}{3}$.

Aplicaciones de las Integrales Definidas

Las integrales definidas tienen múltiples aplicaciones en diversas áreas, tales como:

• Cálculo de Áreas: Encontrar el área entre curvas y el eje $x$.
• Volumen de Sólidos: Utilizando métodos como el de discos o anillos.
• Trabajo y Energía: En física, se pueden calcular el trabajo realizado por una fuerza variable.

Conclusión

Las integrales definidas son esenciales en el cálculo y tienen aplicaciones prácticas en muchos campos. Comprender cómo calcularlas y su interpretación geométrica es fundamental para el estudio de las matemáticas avanzadas.

3.1.2   Área entre las gráficas de funciones.

Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones.

El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado. La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.

Como podemos ver en la Gráfica 4, el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior.

Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así:

Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral definida.

Ya está visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar áreas, pero ¿será aplicable para hallar volúmenes formados por rotación de una función?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración definida. Más adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del área, a una tercera dimensión.

Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su base por su altura.