Calculo de Areas Entre 2 Graficas

Este tema esta un poco complicado entenderlo ya que la operación es demasiada extensa pero se que con la ayuda del profesor lo entender un poco mas para pode continuar con el tema siguiente.

Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva  entre el punto de corte con el eje  y el punto de abscisa .

Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva  entre el punto de corte con el eje  y el punto de abscisa .

1 En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

2 La integral se resuelve mediante integración por partes

Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva  y el eje .

Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x³ − 6x² + 8x y el eje OX.

1 Calculamos los cruces de la función con el eje de las abscisas

2 Planteamos una integral definida

El área sobre el eje  es igual al área en valor absoluto del área bajo el eje  (en el intervalo dado), por tanto se puede escribir:

3 Resolvemos las integrales

El área entre una curva y el eje

Sea f(x)0 en el intervalo [a,b]. Entonces la altura del k-ésimo rectángulo es    f(x_k) y el área bajo la curva es igual al valor de la Integral Definida de f(x) desde a hasta b.

    Observa la siguiente gráfica.

 
 

Valor de la integral  definida = 8.0   Área entre la curva y  el eje horizontal = 8.0

  

El caso en que f(x)<0 en el intervalo [a,b] 

 

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Si f(x)<0 en [a,b] la situación cambia. En este caso la altura del rectángulo es el negativo del númerof(x), puesto que el área del rectángulo (y cualquier área) debe ser positiva.

    Observa la siguiente gráfica.

 
 

Valor de la integral  definida = -8.0 ¡NEGATIVO! Área entre la curva y  el eje horizontal = 8.0

 

Como hemos visto, el área entre la curva y el eje x no siempre es lo mismo que la integral definida. Depende de si f >0 o si f<0 en el intervalo de interés. Enseguida definiremos de una vez por todas el área entre la gráfica de y=f(x) y el eje x en un intervalo dado.
 
 

Definición de área: Sea f(x) continua en [a,b]. El área entre la gráfica  de  y=f(x) y el eje x en el intervalo [a,b] se define como la integral definida en [a,b] del valor absoluto de f(x).

 

    En el siguiente ejemplo verás el cálculo del área entre una curva y el eje x.
 
 

Dentro del intervalo (0,1.5), las curvas: y = 1 - x3  y  y = 0 se intersectan en x = 1. f(x)= 1 - x3 ; g(x)= 0  El área entre las curvas en cada subintervalo es:  {0.75, 0.515625}

 

    Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado.

El área total entre las curvas es: 0.75 + 0.515625 = 1.26563

El área entre dos curvas

En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas.

El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a,b] .

Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo.

f(x)= 3x3 - x2 - 10x	g(x)= - x2 + 2x

    Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.

 

1. Evaluamos f(x*) yg(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)). 2. El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n).Al suma las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas. 3. Tomando el límite cuando nInfinito obtendremos el valor exacto del área buscada. 4. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en [a,b]. 5. Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-f(x*).

    En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la diferencia).

Definición de área entre dos gráficas:     El área entre las gráficas de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo [a,b] está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g| en [a,b].

    Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas.

 

Dentro del intervalo (-2,2), las curvas:  y=2(1-x2)  y  y=x2-1  se intersectan en x = -1, 1.    f(x)=2(1 - x2) ;  g(x)=x2-1    El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4} Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es:  4 + 4 + 4 = 12

 
 

Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas:  y = -x2/3+1  y  y = x2/3  se intersectan en x = 1.    f(x)= -x2/3+1 ;  g(x)=x2/3-1  El área entre las curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867}    Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es: 1.6 + 0.15867 = 1.75867

 

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Otros métodos: Rectángulos horizontales.

El procedimiento anterior depende de que, en cada intervalo de integración, la curva "de arriba" es la misma y la curva "de abajo" también. A continuación se muestra una situación en donde esto no se cumple. Observa las siguientes gráficas.

 
 

Observa que en el intervalo [-1,3] no se cumple que la curva "de arriba" sea la misma. En [-1,2] la curva de arriba es y=x-1 , mientras que en [2,3] la curva de arriba es y=(3-x)^1/2.

    En la gráfica anterior dibujamos un rectángulo horizontal de base X₂ - X₁ y de altura y.

    X₂ es elvalor de x dado por la curva de la derecha (x=3-y²) y X₁ es el valor de x dado por lacurva de la izquierda (x=y+1). En esta situación la curva de la derecha siempre es la misma y la curva de la izquierda también es la misma para todos los rectángulos horizontales desde y=-2 hasta y=1.
 

		y=1
Entonces el área entre las curvas es igual a			[3 - y2 - (y+1)] dy
		y=-2

Si integramos con respecto a "y" la diferencia (3-y²) - (y+1) entre y=-2 hasta y=1, entonces encontramos que:

 

	9
Area entre las curvas =
	2

Creditos: Matemáticas en Movimiento