Integración por partes

Las integrales son una parte fundamental del cálculo, y en muchas ocasiones, pueden resultar desafiantes de abordar. Sin embargo, ¡no temas! Estamos aquí para desentrañar el misterio detrás de las integrales por partes y facilitar su comprensión.

Desde en la física hasta en la ingeniería, pasando por diversas áreas del conocimiento, aparecen constantemente funciones que deben ser integradas usando la integración por partes. En este artículo, te presentamos una gran variedad de ejercicios resueltos que te ayudarán a comprender y a perfeccionar esta importante técnica en matemáticas.

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Solución

1Elegimos  y calculamos  y 

2Sustituimos los valores de  y  en la fórmula de integración por partes

Solución

1Elegimos  y calculamos  y 

2Sustituimos los valores de  y  en la fórmula de integración por partes

3La última integral obtenida se resuelve mediante integración por partes , por ello elegimos  y calculamos  y 

4Sustituimos los valores de  y  en la fórmula de integración por partes y obtenemos

5Sustituimos el resultado obtenido del paso 4, en el resultado del paso 2 y resolvemos la ecuación resultante

Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se puede utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:

La integración por partes nos permite transformar la integral de la izquierda en otra integral, la del término de la derecha, que sea más sencilla de hallar. Para realizar la integración por partes de se debe tener en cuenta las siguientes recomendaciones:  

Escoger adecuadamente u y dv:

Una mala elección puede complicar más el integrando.

Supongamos que tenemos un producto en el que uno de sus factores es un monomio (por ejemplo, x3). Si consideramos dv = x3. Entonces, integrando tendremos que v = x4/4, con lo que hemos aumentado el grado del exponente y esto suele suponer un paso atrás.

Normalmente, se escogen los monomios como u para reducir su exponente al derivarlos. Cuando el exponente es 0, el monomio es igual a 1 y el integrando es más fácil

cambiar la elección A veces tenemos que aplicar el método más de una vez para calcular una misma integral. En estas integrales, al aplicar el método por n-pésima vez, tenemos que llamar u al resultado dudel paso anterior y dv al resultado v. Si no lo hacemos así, como escoger una opción u otra supone integrar o derivar, estaremos deshaciendo el paso anterior y no avanzaremos.